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2012年广东高考数学试题和答卷分析(吴有昌苏洪雨)
作者:金莹  添加时间:2012/10/7 13:16:07 点击:1598

立足基础 稳中求变 常规题中显真功

——2012年高考数学广东卷试题和答卷分析

                    

   2012年高考数学广东卷(以下简称广东卷)延续了多年的试题结构,保持了较高的稳定性,立足双基(基础知识、基本技能),符合数学新课程改革的理念,引导了正确的教学方向,发挥了高考应有的教学导向功能。本文拟通过对2012年广东卷试题(以下简称2012年试题)的命题思想、特点分析和考生答卷的分析,希望对广大中学师生在教与学、复习与备考方面有所启发。

一、试卷设计分析

    2012年试题中,试卷的题型和结构保持了高度的稳定性,考查双基的知识点分布广,比例高,突出了基础性。

(一)考点分布

1:文科知识点分值分布表

函数

三角

几何(解析、立体、平面)

排列组合

概率统计

数列

新题型

24

17

42

/

18

19

5

集合

向量

简单的线性规划

坐标系与参数方程

算法

复数

不等式

5

5

5

5

5

5

/

(注:除选做题外,某一试题同时考查两个知识点时只计算某一考点的分值,不重复计算分值。因此,总分值为155分。下表同)

 

表2:理科知识点分值分布

函数

三角

几何(解析、立体、平面)

排列组合

概率统计

数列

新题型

19

12

42

5

18

19

5

集合

向量

简单的线性规划

坐标系与参数方程

算法

复数

不等式

5

5

5

5

5

5

5

从表1、表2可知,2012年试题对三大知识考点的考查保持稳定,文科卷中,函数(包括三角函数与数列)、几何(平几、立几和解几)和概率统计所占的分值分别是:60、42、18;理科卷中,函数(包括三角函数与数列)、几何(平几、立几和解几)和概率统计所占的分值分别是:50、42、18。值得注意的是,文理科新增数学知识(概率统计、向量、简单的线性规划、算法)所涉及的分值为33分。

(二)试卷结构分析。2012年广东卷的结构与往年保持了高度的一致,甚至一些大题的命题结构也十分相似,有很高的稳定性。具体表现在:1)解答题的考查内容基本没变;2)各解答题的结构与往年高度相似。例如,文理科卷的解析几何题与2007年、2008年的解析几何题类似;文理科卷立几题的结构与设问方式与往年也非常相似。

二、试题特点分析

   影响每一年命题的各种因素有所不同,试题的特点也就有所差异。分析试题的特点有利于把握下一年的命题趋势。

(一)考查双基的知识点内容比例高,强调基础性。高等教育已经进入大众化的时代,高考考查的重点也应随之改变。2012年试题的突出特点就是基础题多,让广大考生感到入手容易,信心倍增。

表3:文科卷中各种题型基础题的分布及比例表

题型

满分值

基础题

基础题分值

基础题的比例

选择题

50

1,2,3,4,5,6,8,9

40

87.5%

填空题

30

11,12,14,15

15

75%

解答题

80

16,17,18(1),19(1),20(1)

37

46%

表4:理科卷中各种题型基础题的分布及比例表

题型

满分值

基础题

基础题分值

基础题的比例

选择题

40

1,2,3,4,5,6,7

35

87.5%

填空题

30

9,10,11,13,14,15

25

83.3%

解答题

80

16,17,18,

19(1),20(1)

48

60%

    从表3、表4可知,2012年文、理科卷的基础题所占分值均超过了总分的60%,理科卷甚至达到了70%,反映了命题者希望广大师生重视基础知识的良好意图。值得注意的是,2012年试题中有不少题目可以在教材中的例题或习题找到原型,例如理1、2、3、4、5、6、7、10、11、12、14、15、16题等。这体现了命题者重视教材,重视数学问题通性通法的掌握与应用,对中学数学教学有很好的导向作用,有利于中学高考复习回归正确的轨道。

(一)考查数学思想方法与数学能力全面,重视学生数学思维发展。重视考查考生的数学思想方法是广东卷命题组一贯的优良传统,今年也不例外。其中,文科卷第5、8、20题考查了数形结合思想;第16、19、20题考查了函数与方程思想;第21题考查了分类讨论思想。理科卷第16、19、20题考查了函数与方程思想;第9、21题考查了分类讨论思想。2012年试题对考生数学能力的考查也很到位。文科卷第7、18题考查了学生空间想像能力;第10、21考查了考生的数学阅读能力;第17题考查了数据处理能力;第18题考查了考生的推理论证能力,等等。理科卷的情况类似,不再赘述。2012年试题重视考查考生的数学思想方法与能力,有利于学生的数学思维发展。

(二)常规试题求新,重视考查考生的应变能力。2012年试题很常规,相信这是一个共识。所谓的常规,它主要表现在两个方面:考查的内容为基础知识;考查的形式为考生常见的形式(如图形、表述和符号等)。2012广东卷大部分的试题考查的内容都是基础知识(见前述),甚至压轴题文理科21题考查的内容也是基础知识,即集合的运算及求二次函数的极大值点和极小值点。考查的形式为考生比较熟悉的图形、表述和符号,例如文理科立几题改变了往年的组合体图形,采用考生所熟悉的四棱锥为基础的立体图形,为考生顺利解决立几题打下了良好的基础。

   常规试题并不意味着容易解决,这很大程度依赖于常规试题的创新。例如,理18题中给出的线面垂直的图形较有新意,能有效考查考生的空间想像能力(见图1);又如理21题,试题首先要求出两个集合的交,然后在求出的集合中讨论带参数的一元三次函数的极值点的问题。试题设问的方式较为新颖,在问题解决过程中也需要考生有良好的应变能力。

2012理18:如图1所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.

证明:(1)平面

(2)若求二面角的正切值.



 

 

             

                            图1)

 

2012理21:,集合.

(1)求集合D(用区间表示);             

(2)求函数在D内的极值点.

解:

第(2)问:在讨论极值点是否在区间D内时,

时,令

即可得:

若考生能清楚试题给定集合D的含义,则能巧妙解答。此时,在高度紧张的考试环境中,需要考验考生的心理素质和应变能力。

此外,为考查考生的创新意识和数学学习能力,命题组还在文理科的选择题最后一题命制了一道创新题。

考生要想顺利解决此题,则需要熟悉向量的数量积公式也需要理解的定义,略为推理就可得正确答案。

三、考生的答卷情况分析

    分析考生的典型错误有利于广大中学教师发现教学中存在的问题与不足,以期在未来的教学和备考中减少犯错。

表5:文科填空题考生典型错误分析

 

 

题号

 

 

 

考查内容

 

 

 

典型错误

 

 

 

比例

 

 

11

 

 

考查无理、分式函数的定义域

 

2.6%

 

5.7%

 

3.6%

 

4.3%

 

12

 

 

 

考查等比数列的通项公式、等比中项

 

 

 

2.9%

 

 

 

1.4%

 

0.7%

4

1.6%

13

 

 

考查平均数、中位数、标准差的概念及不定方程

 

 

 

 

5.3%

 

1,2,2,3

 

2.8%

 

-1,1,3,5

 

1.3%

 

 

表6:文科解答题考生典型错误分析

题号

考查内容

典型错误

比例

16

三角函数的化解和计算,特殊角的三角函数值,诱导公式,同角的平方关系,两角和的余弦公式。

求A 的值

?      代入化简错误

?     

5.6%

?      特殊角的三角函数值出错

2.6%

?      解方程求解A 的值出错

1.8%

求解的值(分解A,B,C三个步骤)

?      的计算

 

?      代入化简错误:

6.8%

?      诱导公式用错

8.6%

?      求sina时运算出错

2.4%

的计算

?      带入化简错误

10.2%

 

 

的值

?      公式使用错误

2.2%

?      运算(通分)出错

5.4%

17

频率分布直方图、频率、频数、平均数等知识。

(1)求的值

?      ,解得:

2%

?      ,解得:

2.4%

?     

6%

?     

解得:=0.005

0.6%

(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;

?     

2.2%

?     

2.8%

?     

1.4%

?     

0.2%

?     

2.6%

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在之外的人数.

 

?     

1.8%

?     

2%

?     

所以数学成绩在之外的人数为10人。

0.6%

18

空间中线面、面面平行垂直;三棱锥的体积公式等

?      逻辑推理不严谨。证明过程书写不规范,例如漏写:

10%

?      混淆线面平行和线面垂直判定定理,以为由可以得到

9%

?      错误使用面面垂直性质定理,以为,可以得到

6%

?      误以为垂直也有传递性,用,得出

5%

19

数列的定义、推导数列的递推关系、求数列的通项等

第一问

?      无法找到S1=T1a1=S1这两个关系;

?      利用的结论来求a1,此时Sn只适用于的情形

 

第二问

?      忽略对初始项的讨论

 

20

椭圆的定义、直线与圆锥曲线相切、二次方程根的判别式、利用导数求直线的斜率等知识

?      椭圆方程中的意义不明确,方程求解错误。

30%

?      在设直线时,没有讨论特殊情况,如斜率不存在的情形没有任何说明。

60%

?      直线方程跟曲线方程联立时,运算错误。

40%。

?      不懂得用处理相切问题

30%

?      抛物线没有讨论第一象限和第四象限。

20%

?      求导错误。

50%

?      最后的切线漏掉一组解,切线只写了一条。

50%

21

二次函数值为正的函数值,自变量取值范围;导数确定函数的极值;应用放缩法作差法、比较两个数的大小。

?      空白卷

23.2%

?      不会用判别式判定一元二次方程根的情况,不会结合二次函数的图象解一元二次不等式,对于一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的联系不熟悉。

74.1%

?      不会求三次函数的导数,或求导出错;

73.6%

?      不会结合二次函数图象解一元二次不等式;

96.7%

?      不会利用导数判断函数单调性、极值;

95.7%

?      计算化简能力差

 

 

 

表7:理科卷填空题考生典型错误分析

 

 

题号

 

 

 

考查内容

 

 

 

典型错误

 

 

 

比例

 

 

9

 

 

考查绝对值不等式的解集、集合区间等知识

5.2%

3%

 

3.6%

2%

 

10

 

 

 

二项展开式的系数计算。

 

 

 

3

0.4%

 

 

6

 

1.8%

 

15

0.7%

8

0.2%

11

 

 

 

 

 

 

 

 

等差数列通项公式的求法。

 

2n+1

 

 

 

1%

 

2n-2

 

0.6%

0.8%

 

12

 

 

 

 

 

曲线在某点处的切线方程

 

5.4%

3.2%

1.2%

 

 

 

13

 

 

 

算法

16

16.6%

4

1.4%

12

1%

 

 

表8:理科卷解答题考生典型错误分析表

题号

考查内容

主要错误

比例

16

 

?      第一问只会公式

0.78%

?      只会第一问

2.7%

?      第三问只会代入化简,并会求出cos

1.4%

?      sin计算错误,例如sinsinsin

8.1%

17

统计直方图,超几何分布,数字特征与期望,数据处理。

第一问主要是学生表达不规范,少写。如

0.06×3+0.054+0.01+x×10=1

9.3%

第二问主要错误是将问题当作二项分布来处理

4.7%

18

空间线面的位置关系,直线与平面垂直的判定,二面角及平面向量等基本知识

平面

?      缺失PA PC 相交的条件

5%

?      ABCD是矩形错误认为

6%

?      PA平面ABCD推出平面PAD平面ABCD推出BD平面PAD

 

19%

求二面角的正切值.

?      没有推导出矩形为正方形,从而设AB=a无法算出正确结果;

33%

 

?      AB=1去计算

5%

?      法向量求错

15%

?      二面角的平面角找错

2%

 

?      正切值计算错误(如

11%

19

等差中项、数列前n项和Sn的意义,依据递推公式求数列通项公式,等比数列求和,放缩法不等式

a1的值;

?      n=0,由已知a1-2+1=0,得a1=1

 

求数列{an}的通项公式;

?      得到an+1=3an+2n(n2),

an+1+2n+1=3(an+2n)

?      数列{an+2n}是以3为首项,3为公比的等比数列(错误在于前面没有验证n=1an+1=3an+2n)也成立,所以{an+2n}的首项应是a2+4=9

 

证明:对一切正整数n,有

 

20

二次函数闭区间上的最值问题,椭圆的几何性质,直线与园的位置关系,函数最值的求法。

?      第一问写出,不列出,直接说下顶点取得最大值点,得出方程。

70%

?      列出= ,没有分类讨论,直接认为y=-1|PQ|最大=9.

50%

?      第二问解出坐标,直接写坐标

10%

21

集合的运算,一元二次不等式,方程根的分布,导数

及其函数。思想方法:分类讨论思想,数形结合思想

?      计算错误 如第(1)问根的判别式的计算,第(2

问求导计算成:

?      分类讨论参数范围出现重复或遗漏的情况。如第(1)问漏掉的情况;

?      概念掌握不清。如第(2)问求极值点时没有分清楚是极大还是极小值点或者求成点的坐标。

?      审题不清。如分类讨论时不顾的条件,第(1

问求区间但写成集合的形式甚至不等式的形式。

 

 

 

四、对命题及中学教学的建议

2012年试题符合考试大纲和课程标准要求,试题背景合理公平,坚持以教材为本,回归基础,以常规试题为主,注重了对基础知识、基本能力和重点知识的考查,体现了对考生的人文关怀,引导了正确的教学方向。

(一)对高考命题的建议

结合2012年试题,从促进广东省数学教育的角度出发,提出如下建议:

1.合理拉大文理科差距。

    众所周知,文理科的两个学生群体的数学素质存在较大的差距。即使文理科试卷考查的内容和要求大体相同,两个群体的平均分势必有较大的差距,倘若个别试题的难度出现文理科倒挂的现象,平均分的差距就会更大了。

    合理拉大文理科差距并不意味着文理科的高考平均分要有较大的差距,也许是恰恰相反。也就是说,所谓合理的文理科差距更应体现为考查内容与要求的差距。要做到这一点,命题工作需要做到:一是切实依据国家考试大纲和广东省考试说明,把文科数学的考试要求具体落实;二是要从文科生未来专业学习的需要出发,考试内容可多结合文科各专业的特点。例如,学美术专业的考生在大学期间需要深入学习透视学,因此,文科立几题可考查三视图相关知识;又如学教育专业的考生未来需要学习如何去分析学生学习成绩的稳定性或离散程度,因此,文科概率统计题可考查标准差和方差相关知识。

2.试题结构可适当改变。

   试题结构的稳定性会使中学数学教学和高考复习有明确的方向性,与此同时,它又带来隐藏着的危害:容易使中学数学教学走进找解题套路的死胡同,从而陷入更严重的应试教育的状态;也容易使命题工作陷入八股文的命题怪圈。

    试题结构可在保持相对稳定的前提下作如下改变:一是改变大题的顺序。例如,三角函数题能否放在第二题或者别的位置?二是改变解答题中各小题的设问方式。例如,解析几何题的第一小问不一定要求某个二次曲线的方程,也可换为求与二次曲线方程相联系的某个未知量的值。

3.压轴题可尝试更大的创新。

高考肩负着为高等学校挑选人才的重任。因此,如何在每一年的考生中选出在本学科学习表现最好的学生是一项具有挑战性的工作。对此,压轴题责无旁贷。

压轴题的创新可从两个方向考虑,一是形式的创新。例如,出一道背景相对公平的应用题,考查某个函数的极值点。如此,也无需担心平均分受此影响,应用题的考查应大力加强;二是内容的创新。主要以考查内容的创新为主,方法的创新为辅。例如,结合某个高等数学中的概念诸如运算的封闭性、封闭集或距离等,以中学数学的相关知识为起点,考查考生对新知识的理解能力、学习能力与应用能力。

(二)对中学数学教学的建议

以多年来广东考生出现的典型错误为基础,结合2012年试题考生的答卷情况,提出如下建议,仅供参考。

1.重视初高中数学教学的衔接,夯实基础。

考生在2012年试题中的答卷出现的诸多典型错误诸如解一元二次不等式出错、不会运用判别式来判断一元二次方程根的情况以及不会寻找判定两个相似三角形的条件等等,无一不指向初高中数学教学衔接存在的问题。

笔者在广东省多地的教学交流中也发现,不少中学甚至个别重点中学,并未做好初高中数学教学的衔接工作,导致许多初中的优生在高一阶段因不适应高中的数学学习方式而落后,以致丧失了数学学习的信心。要做好初高中数学教学衔接工作需做到:学法的衔接、学习心态的调整和知识的衔接。

2.加强数学语言规范的训练,提高数学素养。

不管考生未来从事什么专业的学习,或者是做一个普通的工人,都需要学会用数学语言规范地表达。从这个意义上来说,强调数学语言规范的训练极为重要。然而,从考生的答卷来看,数学语言规范不太乐观,主要体现在:简单的符号表示如坐标、集合的表达不规范;数学推理过程不完整或逻辑顺序颠倒;不善于作图辅助解题,等等。

做好数学语言规范的训练要求数学教师做到:多示范、勤交流、批改作业及时,等等。数学语言规范是一个学生具有数学素养的具体表现。

3.深入研究教材的例习题,做好拓展训练

2012年试题中不少来源于教材的例习题,这也是多年来广东卷的优良传统之一。因此,深入研究教材的例习题,有效开展例习题的拓展训练,以教材为本开展复习,应是每一个高中数学教师的责任。可惜,不少中学数学教师尚未认识到此项工作的重要性。

在教学实践中,过多地依赖教辅材料或疏于研究教材的例习题的现象并不少见。一个极端的现象是,在高三备考过程中,教师根本不用教材,只看教辅。

  做好教材例习题的拓展训练要求教师做到:多做例习题寻找典型例题;讲清通性通法获取一般解题思路;做好例习题的变式开拓学生视野,等等。

(作者:吴有昌,为广东省教育研究院教学教材研究室教研员;苏洪雨,为华南师范大学数学科学学院教师。)

 

 
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